2) La réalisation technique.
Le viaduc, comme tous les autres ponts, est soumis à des contraintes. Voici les principales contraintes.
a) Dilatation: La dilatation des solides est compensée sur les ponts par des rainures : avec les différences d'expositions au soleil et l'échauffement de l'atmosphère, un solide de plusieurs dizaines de mètres peut s'allonger de quelques centimètres. Sans l'espace laissé par les rainures, le pont se déformerait.
Les matériaux utilisés et les dimensions des différentes parties du viaduc :
Les coefficients de dilatation des différents matériaux :
La dilatation des solides est compensée sur les ponts par des rainures : avec les différences d'expositions au soleil et l'échauffement de l'atmosphère, un solide de plusieurs dizaines de mètres peut s'allonger de quelques centimètres. Sans l'espace laissé par les rainures, le pont se déformerait.
Dilatation du viaduc :
On peut calculer la variation de longueur en fonction de la variation de température.
∆L = α . L0 . ∆T
Avec :
∆L = L - L0 : la variation de la longueur en mètre (m)
α : le coefficient de dilatation linéaire en 1/Kelvin ( K-1 )
L0 : la longueur initiale en mètre (m)
∆T = T- T0 : la variation de température en Kelvin (K)
T0 : la température moyenne en Kelvin (K)
On peut donc rechercher directement la nouvelle longueur après dilatation.
L - L0 = α . L0 . (T- T0)
L = α . L0 . (T- T0 )+ L0
On a donc :
On peut donc calculer l'allongement des différentes parties du viaduc en été et en hiver. La température moyenne à Millau est de 10,5 °C.
- En été la température peut atteindre 38°C. Donc pour toutes les parties du viaduc l'allongement sera de :
L = L0 [α . ((273 + 38)– (273 + 10,5)) + 1]
On a donc :
Si on applique cette formule aux différentes parties on obtient l'allongement des différentes parties de l'ouvrage.
On constate quand été, les différentes parties du viaduc s'allongent de plusieurs centimètres.
- En hiver la température peut atteindre -20°C. Donc pour toutes les parties du viaduc la rétraction sera de :
L = L0 [α . ((273 - 20)– (273 + 10,5)) + 1]
On a donc :
Si on applique cette formule aux différentes parties on obtient la rétraction des différentes parties de l'ouvrage.
On constate quand hiver, les différents parties du viaduc on tendance à raccourcir.
b) L'effet venturi:
L'aspect allongé de la pile participe à avoir une meilleure prise au vent. En effet, la pression exercée par le vent sur la pile est proportionnelle à l'accélération que doit avoir le vent pour la contourner, c'est l'effet venturi. Plus l'obstacle est grand, est plus le vent doit accélérer pour le contourner, et donc les risques de dépression et de formation de mini tornade sont élevés. Il faut en effet savoir que le vent est très présent dans la causse du Larzac, et l'effet venturi dans la causse n'arrange rien, le flux sud-ouest a tendance à accélérer dans ce goulot formé par la vallée. Les vents peuvent atteindre des vitesses supérieures de 25 % à celles mesurées à la station météo toute proche, et donc se montrer très violent. C'est pourquoi le fait de construire des piles allongées et fendues à 90 m sous le tablier plutôt qu'hexagonales favorise la prise au vent et évite les dépressions qui risqueraient de faire basculer les piles ou tout au moins de les faire osciller. Mais l'obstacle est bel et bien toujours présent et des dépressions se forment par conséquent au niveau des piliers. Pour y remédier, les ingénieurs ont donc choisi de construire des piles parfaitement symétriques afin que les dépressions se compensent de chaque côté de la pile et que cette dernière évite alors de bouger.
On cherche à démontrer le phénomène de dépression qui peut apparaître au niveau des piles.
Dans notre cas, on fait l'hypothèse que le fluide (air) est incompressible, il s'écoule en régime permanent, il n'est pas visqueux.
L'effet venturi est utilisé pour maintenir le tablier sur les piles. Le tablier a la forme caractéristique d'une double aile d'avion retournée. Cette forme lui assure une stabilité face au vent. En effet, le vent va produire une dépression en dessous du tablier donc il va subir une force qui l'attire vers le bas et qui le stabilise sur les piles lors des grands vents, car le vent est un ennemi redoutable pour le viaduc: si le tablier se soulève et retombe, les haubans se fragilisent.
On cherche à démontrer le phénomène de dépression qui peut apparaître au niveau des piles.
Dans notre cas, on fait l'hypothèse que le fluide (air) est incompressible, il s'écoule en régime permanent, il n'est pas visqueux.
On considère qu'il s'agit d'un tube d'air limité par deux section droites S1 et S2. Le tube est assez petit pour que la vitesse et la pression soient les mêmes en chaque point d'une section droite.
Soient P1 ,P2,et v1, v2 respectivement les pressions et vitesses en A et B.
Au bout du temps ∆t, le fluide compris entre A et B passe entre A' et B'.
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique:
Soient P1 ,P2,et v1, v2 respectivement les pressions et vitesses en A et B.
Au bout du temps ∆t, le fluide compris entre A et B passe entre A' et B'.
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique:
Ec(BB') – Ec(AA') = ∑ WAA'BB' (Fi)
Par hypothèse, le fluide est incompressible donc la conservation du volume impose que :
S1.AA' = S2.BB' = ∆V
Ce volume a une masse m = µ.∆V avec µ la masse volumique du fluide
Lors du déplacement du fluide, l'énergie cinétique varie de :
Lors du déplacement du fluide, l'énergie cinétique varie de :
Ec=½ mv2² - ½ mv2² = ½µ.∆V (v2² -v1²)
Les forces extérieures agissant sur le solide sont la pression et les poids.
Système de référence : W(P1) = P1 x AA' x S1
Donc :
W(P1 + P2) = W(P1) – W(P2) = P1 x AA' x S1 - P2 x BB' x S2
Soit: W(P1 +P2) = ∆V (P1 - P2)
W(P) = mg x (z1 –z2)
W(P) = µ.∆V g x (z1 –z2)
On peut donc écrire :
Ec(BB') – Ec(AA') = [W(P1) - W(P2)] + W(P)
Ec(BB') – Ec(AA') = ∆V (P1 - P2) + µ.∆V g x (z1 –z2)
Ec(BB') – Ec(AA') = ∆V (P1 - P2 + µ.g (z1 –z2))
Or : Ec(BB') – Ec(AA') = Ec
Il en résulte
½µ.∆V (v2² -v1²) = ∆V (P1 - P2 + µ.g(z1 –z2))
½µ. v22 - ½µ. v12 = P1 –P2 + µ.g.z1 - µ.g.z2
- ½µ. v1² - P1 - µ.g.z1 = - ½µ. v2² –P2 - µ.g.z2
- Travail des forces de pression pour rechercher l'énergie de compression :
Système de référence : W(P1) = P1 x AA' x S1
Donc :
W(P1 + P2) = W(P1) – W(P2) = P1 x AA' x S1 - P2 x BB' x S2
Soit: W(P1 +P2) = ∆V (P1 - P2)
- Travail du poids P pour obtenir l'énergie potentielle :
W(P) = mg x (z1 –z2)
W(P) = µ.∆V g x (z1 –z2)
On peut donc écrire :
Ec(BB') – Ec(AA') = [W(P1) - W(P2)] + W(P)
Ec(BB') – Ec(AA') = ∆V (P1 - P2) + µ.∆V g x (z1 –z2)
Ec(BB') – Ec(AA') = ∆V (P1 - P2 + µ.g (z1 –z2))
Or : Ec(BB') – Ec(AA') = Ec
Il en résulte
½µ.∆V (v2² -v1²) = ∆V (P1 - P2 + µ.g(z1 –z2))
½µ. v22 - ½µ. v12 = P1 –P2 + µ.g.z1 - µ.g.z2
- ½µ. v1² - P1 - µ.g.z1 = - ½µ. v2² –P2 - µ.g.z2
Donc :
Le débit D = V1.S1 = V2.S2 est constant. Si l'on néglige les phénomènes de pesanteur (z1 = z2), on voit que la pression est plus faible là où la section est la plus petite. C'est l'effet VENTURI.
c) Haubans et Pylônes:
Les haubans, de solides câbles d'acier fixés sur les pylônes permettent à l'ouvrage de résister aux intempéries et de supporter les charges.
La longueur exceptionnelle du viaduc posait des problèmes particuliers.
Pour un pont à hauban « normal », la culée (point fixe) se trouve à l'arrière, si bien que les haubans arrière retiennent le pylône, de ce fait, il fléchit peu.
Dans le cas du viaduc de Millau, si on charge la travée avec des camions, elle va descendre et aura tendance à entraîner le pylône vers elle, le faire basculer.
La longueur exceptionnelle du viaduc posait des problèmes particuliers.
Pour un pont à hauban « normal », la culée (point fixe) se trouve à l'arrière, si bien que les haubans arrière retiennent le pylône, de ce fait, il fléchit peu.
Dans le cas du viaduc de Millau, si on charge la travée avec des camions, elle va descendre et aura tendance à entraîner le pylône vers elle, le faire basculer.
Pour que ce mouvement reste limité et que la structure résiste bien, il faut qu'on fasse participer la pile et que cette pile est suffisamment d'empattement pour que cette charge soit prise par une compression d'un côté et une traction de l'autre. Donc cette pile doit avoir de la matière.
d) Bilan des forces sur un pont à haubans:
Les haubans transmettent le poids du tablier aux pylônes qui à leur tour le transmettent aux piles du viaduc. C'est donc les sept piles qui supportent le tablier. Le viaduc est donc en quelques sortes en équilibre. Il doit y avoir environ le même poids de chaque côté du pylône.
On en deduit que : Py – 2Tay = 0
Py – 2*Ta*sin α =0
Ta = Py/(2*sin α)
Ta = (m*g)/(2*sin α)
On sait qu'un sinus varie de -1 à 1. Or ici, le sinus ne peut être négatif (cela laisserait supposé un angle supérieur à π/2) ni nul (α= π/2). La valeur de la tension exercée par le câble pour retenir le tablier peut donc être divisé au maximum par deux (car le sinus est multiplié par 2), ce qui n'est pas négligeable.
La structure d'un pont à hauban a pour principal objectif de diminuer la force exercée par le câble pour maintenir le tablier en équilibre.
.
- une force de tension
exercée par le poids du tablier.
La résistance du sol doit être très importante car elle doit compenser le poids de la pile et la tension nécessaire au maintien du tablier. C'est pour cela que les ingénieurs ont privilégié les puits marocains.
Cette technique consiste à reposer la pile sur une semelle d'épaisseur de 3 à 5 mètres. Cette dernière repose elle-même sur quatre puits marocains larges d'un mètre et profond de 20 mètres.
- Soit un référentiel terrestre.
- Soit un système " tablier ".
- Ce système subi: - une force à distance le poids
;
- des forces de contacts 
et 
exercées par les câbles.
- Ce système est au repos donc d'après la première loi de Newton :
- Voici la composante tangentielle de
:
- Projection sur Ox :
Donc:
- Projection sur Oy :
Donc:
On en deduit que :
On en deduit que :
Py – 2*Ta*sin α =0
Ta = Py/(2*sin α)
Ta = (m*g)/(2*sin α)
On sait qu'un sinus varie de -1 à 1. Or ici, le sinus ne peut être négatif (cela laisserait supposé un angle supérieur à π/2) ni nul (α= π/2). La valeur de la tension exercée par le câble pour retenir le tablier peut donc être divisé au maximum par deux (car le sinus est multiplié par 2), ce qui n'est pas négligeable.
La structure d'un pont à hauban a pour principal objectif de diminuer la force exercée par le câble pour maintenir le tablier en équilibre.
e) Bilan des forces sur une pile d'un pont:
Les piles, au nombre de sept, supportent le poids du tablier transmis par les haubans. Nous allons étudier les forces s'exerçant sur une pile afin de déterminer les enjeux de leur construction.
- Soit un référentiel terrestre.
- Soit un système « pile ».
- Ce système subi: - une force à distance le poids
.
- une force de tension
- Ce système est au repos donc d'après la première loi de Newton :
- Projection suivant l'axe (Oy) :
La résistance du sol doit être très importante car elle doit compenser le poids de la pile et la tension nécessaire au maintien du tablier. C'est pour cela que les ingénieurs ont privilégié les puits marocains.
Cette technique consiste à reposer la pile sur une semelle d'épaisseur de 3 à 5 mètres. Cette dernière repose elle-même sur quatre puits marocains larges d'un mètre et profond de 20 mètres.
On peut schématiser les fondations de la manière suivante :
f) Résonance:
Lorsqu'un système stable s'écarte de sa position d'origine, il y avec des oscillations qui lui sont propres : c'est la fréquence propre du système. Cette oscillation constitue une fréquence. Lorsqu'on marche par exemple sur un pont avec la même fréquence, l'amplitude se voit augmenté : c'est une excitation sinusoïdale.
